É uma medida da sensibilidade do preço de um título de renda fixa
frente a variações no nível de taxa de juros de mercado. O preço
de um título de renda fixa é calculado como o valor presente do
fluxo de caixa produzido por este título (F), descontado a uma
taxa de desconto r. A duração de um título F, daqui em diante
denotada por DF, é formalmente definida como menos a derivada
do preço do título, dividida pelo seu preço.
Onde r é a taxa de desconto, VPF é o Valor Presente do
Fluxo
F e VP'F é a primeira derivada da função valor presente.
Considerando que a primeira derivada de uma função pode
ser aproximada, para pequenos intervalos, como a razão entre
a diferença de valores desta função e o tamanho do intervalo,
temos
O que nos fornece uma primeira aproximação para o cálculo da
variação no valor presente (∆VP) devido a uma variação de taxa
de juros (∆r).
Esta aproximação consiste em avaliar a variação causada em VP
(∆VP) devido a uma variação na taxa de juros (∆r) através da reta
tangente ao gráfico da função VPF , no ponto (r, VPF (r)).
Esta expressão indica, por exemplo, que se uma carteira de
títulos de renda fixa tem uma duração de três, seu valor cairá
aproximadamente 3% mediante um aumento de 1% no nível
de taxa de juros e, por outro lado, subirá aproximadamente 3%
quando o nível de taxa de juros cair 1%. Esta carteira é menos
sensível frente à variações da taxa de juros do que uma com
duração de 10, cujo valor varia aproximadamente 10% para uma
mudança de taxa de juros de 1%.
Calculando a Duração de um Título
Para calcular a duração de um título com um fluxo de caixa F é
necessário uma expressão para VP'F. Esta pode ser obtida a partir
da função valor presente, dada por:
Onde TF (i) é o intervalo de tempo entre o instante de referência
e a i-ésima entrada/saída do fluxo F.
Portanto, para um título que tem como fluxo de caixa três
parcelas anuais iguais de R$120,00, com o primeiro pagamento
sendo realizado dentro de um ano e taxa de remuneração anual
r de 10%, tem-se:
Portanto,
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